ОГЛЯД РЕЗУЛЬТАТIВ ТЕОРIЇ ВIМАНА-ВАЛIРОНА ЗА ОСТАННI 50 РОКIВ. I: НЕРIВНIСТЬ ВIМАНА I СПIВВIДНОШЕННЯ БОРЕЛЯ ДЛЯ ЦIЛИХ ФУНКЦIЙ ВIД ОДНIЄЇ ЗМIННОЇ

Abstract

Статтю присвячено огляду результатiв з теорiї Вiмана-Валiрона в класi цiлих i аналiтичних функцiй вигляду f(z) = P +∞n=0 fnzn, z ∈ C, що стосу- ються таких спiввiдношень ln Mf (r) ∼ ln µf (r), Ψ(ln Mf (r)) ∼ Ψ(ln µf (r)), а також нерiвностей типу Вiмана Mf (r) ⩽ µf (r)(ln µf (r))1/2 , якi викону- ються для всiх r ⩾ r0 зовнi деяких виняткових множин; тут Mf (r) та µf (r) — максимум модуля f на колi {z : |z| = r} та максимальний член ряду Тейлора, вiдповiдно. Описуються також твердження, що стосуються узагальнень цих результатiв в класах цiлих рядiв Дiрiхле вигляду F(z) = +∞Xn=0 Fn exp{zλn}, 0 = λ0 < λn < λn+1 ↑ +∞ (1 ⩽ n ↑ +∞). Розглядаються також аналоги подiбних результатiв в класi функцiй F : R → R+ вигляду F(x) = R 0+∞ f(u)e xuν(du), де ν — невiд’ємна мiра на R+ з необмеженим носiєм supp ν, f(x) — довiльна невiд’ємна ν-вимiрна функцiя на R+.